第四周乘除运算及浮点数运算

第1讲整数乘法运算
第2讲整数除法运算
第3讲浮点数运算
第四周小测验

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第1讲整数乘法运算

对于C语言程序中的表达式z=x*y，其中x,y和z都是32位的int型整数，z的取值为x*y的64位乘积中的低32位。

在计算机内部，一个整数x的平方可能是负数，这是因为在计算机中其结果取的是x*x的低n位乘积而高n位中的有效数位被丢弃而造成的。

以下是关于整数乘运算（z=x*y）结果溢出判断规则的描述，其中错误的是（ A ）。

A.如果是C语言程序员，可以采用"若(y!=0 || x==z/y)，则结果z不溢出"的规则。

B.若x,y,z为无符号整数，则编译器可以采用"若z的高n为全0，则不溢出，否则溢出"的规则。

C.若x,y,z为带符号整数，则编译器可以采用"若z的高n+1位为全0或全1，则不溢出，否则溢出"的规则。

D.高级语言程序员使用高级语言语句实现溢出判断，而编译器使用若干条指令进行溢出判断。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int is_mul_overflow(int a, int b) {
    if( a >= 0 && b >=0  ) {
        return INT_MAX / a < b;
    }
    else if( a < 0 && b < 0 ) {
        return INT_MAX / a > b;
    }
    else if( a * b == INT_MIN ) {
        return 0;
    }
    else {
        return a < 0 ? is_mul_overflow(-a, b) : is_mul_overflow(a, -b);
    }
}

void check(int n1, int n2, int expect_ret, int case_n) {
    int ret = is_mul_overflow(n1, n2);
    if( expect_ret == is_mul_overflow(n1, n2) )
        printf("test pass case:%d\n",case_n);
    else
        printf("test fail case:%d\n",case_n);
}

int main() {
    int case_n = 0;
    check(0x00000001, 0x0000000f, 0x0000000f, ++case_n);

    printf("%x\n", INT_MIN);
    printf("%x\n", INT_MAX);
    int result = -1*1;
    printf("%d",result);
    return 0;
}

test fail case:1
80000000
7fffffff
-1

-1（1111）乘以+1（0001）结果（00001111）溢出？？？？

取负指令neg：各位取反末位加一

判断两int相乘是否溢出，目前找到的最正确方式：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int is_mul_overflow(int a, int b) {
    if( a >= 0 && b >=0  ) {
        return INT_MAX / a < b;
    }
    else if( a < 0 && b < 0 ) {
        return INT_MAX / a > b;
    }
    else if( a * b == INT_MIN ) {
        return 0;
    }
    else {
        return a < 0 ? is_mul_overflow(-a, b) : is_mul_overflow(a, -b);
    }
}

void check(int n1, int n2, int expect_ret, int case_n) {
    int ret = is_mul_overflow(n1, n2);
    if( expect_ret == is_mul_overflow(n1, n2) )
        printf("test pass case:%d\n",case_n);
    else
        printf("test fail case:%d\n",case_n);
}

int main() {
    int case_n = 0;
    check(1, 0x80000000, 0, ++case_n);
    check(-1, 0x80000000, 1, ++case_n);
    check(0x80000000, -1, 1, ++case_n);
    check(-1, 0x80000001, 0, ++case_n);
    check(0x80000001, -1, 0, ++case_n);
    check(1, 0x7fffffff, 0, ++case_n);
    check(0x7fffffff, 1, 0, ++case_n);
    check(2, 0x7fffffff, 1, ++case_n);
    check(0x7fffffff, 2, 1, ++case_n);
    check(0x7fffffff, -1, 0, ++case_n);
    check(-1, 0x7fffffff, 0, ++case_n);
    check(2, 0xc0000000, 0, ++case_n);
    check(0xc0000000, 2, 0, ++case_n);
    check(0x70000000, 2, 1, ++case_n);
    check(2, 0x70000000, 1, ++case_n);

    printf("%x\n", INT_MIN);
    printf("%x\n", INT_MAX);
    return 0;
}

test pass case:1
test pass case:2
test pass case:3
test pass case:4
test pass case:5
test pass case:6
test pass case:7
test pass case:8
test pass case:9
test pass case:10
test pass case:11
test pass case:12
test pass case:13
test pass case:14
test pass case:15
80000000
7fffffff

int copy_array(int* array,int count)
{
    int *myarray = (int*)malloc(count*sizeof(int));
    if(myarray==NULL)
    {
        return -1;
    }
    for(int i=0;i<count;i++)
        myarray[i]=array[i];
    return count;
}

第2讲整数除法运算

int main() {
    int a = 0x80000000;
    int b = a/-1;
    printf("%d\n",b);//-2147483648
    printf("%d\n",-a);//-2147483648
    int c = -1;
    int d = a/c;
    printf("%d",d);//这里无输出结果
    return 0;
}

对于C语言程序中的一个char型变量x，若x=-15，则x/4的机器数为（ 1111 1101 ）。

这里不能整除，需要添加偏置量。

类型	比特数	有效数字（精度）	数值范围
float	32	6~7	-3.410^38~3.410^38
double	64	15~16	-1.7910^308~1.7910^308
long double	128/	18~19	-1.210^4932~1.210^4932

第四周小测验

1单选(0.5分)

若在一个8位计算机中完成x+2y的运算，假定变量x和y的机器数用补码表示为[x]补=44H，[y]补= DCH，则x+2y的机器数及相应的溢出标志OF分别是（ FCH、0）。

解析： x和y的机器数是用补码表示的，分别是0100 0100、1101 1100，因为是做x+2y，所以，先对y算术左移一位，然后和x相加，此时sub=0，即0100 0100 + 1011 1000+0 = 1111 1100（FCH），因为两个加数符号相异，所以不会发生溢出，即OF=0。

2单选(0.5分)

若在一个8位计算机中完成x–2y，假定变量x和y的机器数用补码表示为[x]补=44H，[y]补= DCH，则x–2y的机器数及相应的溢出标志OF分别是（8CH、1 ）。

解析： x和y的机器数是用补码表示的，分别是0100 0100、1101 1100，因为是做x–2y，所以，先对y算术左移一位，得1011 1000，然后各位取反，再和x相加，此时sub=1，即0100 0100 + 0100 0111+1 = 1000 1100（8CH），因为两个加数符号都为0，而结果符号为1，所以发生了溢出，即OF=1。

3单选(0.5分)

若在一个8位计算机中完成x/2+2y，假定变量x和y的机器数用补码表示为[x]补=44H，[y]补= DCH，则x/2+2y的机器数及相应的溢出标志OF分别是（ DAH、0 ）。

解析： x和y的机器数是用补码表示的，分别是0100 0100、1101 1100，因为是做x/2+2y，所以，先对x算术右移一位，得0010 0010；再对y算术左移一位，得1011 1000，两者相加，此时sub=0，即0010 0010 + 1011 1000+0 = 1101 1010（DAH），因为两个加数符号相异，所以不会发生溢出，即OF=0。

4单选(0.5分)

假定变量r1 和r2的机器数用8位补码表示为[r1]补=F5H，[r2]补=EEH。若将运算结果存放在一个8位寄存器中，则下列运算中会发生溢出的是（B ）。

A. r1/r2

B. r1× r2

C. r1+ r2

D. r1– r2

正确答案：B你选对了

C. r1（-11）+ r2（-18）结果为1 1110 0011（-29）

5单选(0.5分)

假定整数加法指令、整数减法指令和移位指令所需时钟周期（CPI）都为1，整数乘法指令所需时钟周期为10。若x为整型变量，为了使计算64*x所用时钟周期数最少，编译器应选用的最佳指令序列为（1条左移指令）。

解析：因为64*x可以用x左移6位来实现，左移指令比乘法指令快10倍，因此最佳指令序列为1条左移指令，只要一个时钟周期。

6单选(0.5分)

假定整数加法指令、整数减法指令和移位指令所需时钟周期（CPI）都为1，整数乘法指令所需时钟周期为10。若x为整型变量，为了使计算54*x所用时钟周期数最少，编译器应选用的最佳指令序列为（3条左移指令和两条减法指令）。

解析：一条整数乘法指令需要10个时钟周期。而54*x=(64-8-2)*x=64*x -8*x -2*x，可用3条左移指令和两条减法指令来实现，共需5个时钟周期。

7单选(0.5分)

假定整数加法指令、逻辑运算指令和移位指令所需时钟周期（CPI）都为1，整数除法指令所需时钟周期为32。若x为整型变量，为了使计算x/64所用时钟周期数最少，编译器应选用的最佳指令序列为（两条右移指令、1条与操作指令、1条加法指令）。

A. 1条右移指令

B. 两条右移指令、1条与操作指令、1条加法指令

C. 1条加法指令、1条右移指令

D. 1条除法指令

正确答案：B你选对了

解析： A、若x为负数且不能被64整除，则x右移6位和x/64的结果不相等。 B、x/64 = ( x>=0 ? x : (x+63) ) >> 6，因此关键是计算偏移量b，这里，x为正时b=0，x为负时b=63。可从x的符号得到b，x>>31得到32位符号，正数为32位0，负数为32位1，然后通过“与”操作提取低6位，这就是偏移量b。也即：x/64 = ( x+ ( x>>31)&0x3F ) ) >> 6，用2条右移、1条加和1条与指令即可实现，只要4个时钟周期。 C、若x为负数，则x/64=(x+63)>>6，但该公式不适合正数x，因此无法用一条加和一条右移指令实现。 D、一条整数乘法指令需要32个时钟周期。

8单选(0.5分)

已知float型变量用IEEE 754单精度浮点格式表示，float型变量x和y的机器数分别表示为x=40E8 0000H，y=C204 0000H，则在计算x+y时，第一步对阶操作的结果[Ex-Ey]补为（1111 1101 ）。

解析：因为x=40E8 0000H=0100 0000 1110 1000 0...0，y=C204 0000H=1100 0010 0000 0100 0...0，所以x和y的阶码分别为100 0000 1、100 0010 0，对阶时计算过程为 1000 0001 + 0111 1100 = 1111 1101。

9单选(0.5分)

对于IEEE 754单精度浮点数加减运算，只要对阶时得到的两个阶之差的绝对值|ΔE|大于等于（25 ），就无需继续进行后续处理，此时，运算结果直接取阶大的那个数。

解析：对于IEEE 754单精度浮点格式，当出现“1.bb…b + 0.00…0 01bb…b”情况时会发生“大数吃小数”现象，小数0.00…0 01bb…b中的小数点被左移了25位。

10多选(0.5分)

变量dx、dy和dz的声明和初始化如下：

double dx = (double) x;
double dy = (double) y;
double dz = (double) z;

若float和double分别采用IEEE 754单精度和双精度浮点数格式，sizeof(int)=4，则对于任意int型变量x、y和z，以下哪个关系表达式是永真的？

A. dx*dy*dz == dz*dy*dx

B. (double)(float) x == dx

C. (dx+dy)+dz == dx+(dy+dz)

D. dx*dx >= 0

正确答案：C、D你错选为B、D

解析： A、非永真。相乘的结果可能产生舍入。 B、非永真。当int型数据x的有效位数比float型可表示的最大有效位数24更多时，x强制转换为float型数据时有效位数丢失，而将x转换为double型数据时没有有效位数丢失。也即等式左边可能是近似值，而右边是精确值。 C、永真。因为dx、dy和dz是由32位int型数据转换得到的，而double类型可以精确表示int类型数据，并且对阶时尾数移位位数不会超过52位，因此尾数不会舍入，因而不会发生大数吃小数的情况。但是，如果dx、dy和dz是任意double类型数据，则非永真。 D、永真。double型数据用IEEE 754标准表示，尾数用原码小数表示，符号和数值部分分开运算。不管结果是否溢出都不会影响乘积的符号。

计算机系统基础