拆分系列

139. Word Break

Given a string s and a dictionary of strings wordDict, return true if s can be segmented into a space-separated sequence of one or more dictionary words.

Note that the same word in the dictionary may be reused multiple times in the segmentation.

Example 1:

Input: s = "leetcode", wordDict = ["leet","code"]
Output: true
Explanation: Return true because "leetcode" can be segmented as "leet code".

Example 2:

Input: s = "applepenapple", wordDict = ["apple","pen"]
Output: true
Explanation: Return true because "applepenapple" can be segmented as "apple pen apple". Note that you are allowed to reuse a dictionary word.

Example 3:

Input: s = "catsandog", wordDict = ["cats","dog","sand","and","cat"]
Output: false

Constraints:

  • 1 <= s.length <= 300
  • 1 <= wordDict.length <= 1000
  • 1 <= wordDict[i].length <= 20
  • s and wordDict[i] consist of only lowercase English letters.
  • All the strings of wordDict are unique.

思路

动态规划，字符串拆分，使用布尔型数组

C++解法

class Solution {
public:
    bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
        unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
        vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
        dp[0] = true;
        for(int j = 1; j <= s.size(); j++){
            for(int i = 0; i < j; i++){
                string tempStr = s.substr(i, j - i);
                if(wordSet.find(tempStr) != wordSet.end() && dp[i] == true){
                    dp[j] = true;
                }
            }
        }
        return dp[s.size()];
    }
};

Java解法

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);  // 优化：直接用构造函数初始化
        boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];
        dp[0] = true;  // 空字符串可以被分割
        
        for (int j = 1; j <= s.length(); j++) {
            for (int i = 0; i < j; i++) {
                String temp = s.substring(i, j);  // 取子串 s[i, j)
                if (set.contains(temp) && dp[i]) {
                    dp[j] = true;
                    break;  // 一旦满足条件，跳出内层循环
                }
            }
        }
        return dp[s.length()];
    }
}

343. Integer Break

Given an integer n, break it into the sum of k positive integers, where k >= 2, and maximize the product of those integers.

Return the maximum product you can get.

Example 1:

Input: n = 2
Output: 1
Explanation: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1.

Example 2:

Input: n = 10
Output: 36
Explanation: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36.

Constraints:

  • 2 <= n <= 58

思路

看到这道题目，都会想拆成两个呢，还是三个呢，还是四个....

我们来看一下如何使用动态规划来解决。

动规五部曲，分析如下：

  1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

dp[i]的定义将贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

  1. 确定递推公式

可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？

其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

那有同学问了，j怎么就不拆分呢？

j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。

所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});

那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？

因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

  1. dp的初始化

不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？

有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。

严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。

拆分0和拆分1的最大乘积是多少？

这是无解的。

这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

  1. 确定遍历顺序

确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

所以遍历顺序为：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {  
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {  
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));  
    }  
}

注意 枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。

j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1

至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

更优化一步，可以这样：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {  
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {  
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));  
    }  
}

因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。

例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。

只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。

那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

至于 “拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的” 这个我就不去做数学证明了，感兴趣的同学，可以自己证明。

  1. 举例推导dp数组

C++解法

以上动规五部曲分析完毕，C++代码如下：

class Solution {  
public:  
    int integerBreak(int n) {  
        vector<int> dp(n + 1);  
        dp[2] = 1;  
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {  
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {  
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));  
            }  
        }  
        return dp[n];  
    }  
};
  • 时间复杂度：O(n^2)
  • 空间复杂度：O(n)

Java解法

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= i-j; j++) {
                // 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已，
                //并且，在本题中，我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的，
                //j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
                // j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
                //而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

279. Perfect Squares

Given an integer n, return the least number of perfect square numbers that sum to n.

A perfect square is an integer that is the square of an integer; in other words, it is the product of some integer with itself. For example, 1, 4, 9, and 16 are perfect squares while 3 and 11 are not.

Example 1:

Input: n = 12
Output: 3
Explanation: 12 = 4 + 4 + 4.

Example 2:

Input: n = 13
Output: 2
Explanation: 13 = 4 + 9.

Constraints:

  • 1 <= n <= 10^4

思路

动态规划，拆分数字，递推公式为dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);

C++解法

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= sqrt(n); i++){
            for(int j = i * i; j <= n; j++){
                if((dp[j - i * i] + i * i) != INT_MAX){
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

Java解法

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        dp[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }

        return dp[n];
    }
}

Go解法

func numSquares(amount int) int {
    dp := make([]int, amount + 1);
    for i := 0; i < len(dp); i++ {
        dp[i] = math.MaxInt32;
    }
    dp[0] = 0;
    for j := 1; j <= amount; j++ {
        for i := 1; i * i <= j; i++ {
            dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
        }
    }
    return dp[amount];
}