单调队列
239. Sliding Window Maximum
You are given an array of integers nums, there is a sliding window of size k which is moving from the very left of the array to the very right. You can only see the k numbers in the window. Each time the sliding window moves right by one position.
Return the max sliding window.
Example 1:
Input: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], k = 3
Output: [3,3,5,5,6,7]
Explanation:
Window position Max
--------------- -----
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 **3**
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 **3**
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 ** 5**
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 **5**
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 **6**
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] **7**
Example 2:
Input: nums = [1], k = 1
Output: [1]
Constraints:
1 <= nums.length <= 10^5-10^4 <= nums[i] <= 10^41 <= k <= nums.length
思路
不能使用普通队列，也不能使用优先级队列，需要自己实现特殊单调队列，特殊队列要有pop()、push()和getMaxValue()成员函数。
这是使用单调队列的经典题目。
难点是如何求一个区间里的最大值呢？ （这好像是废话），暴力一下不就得了。
暴力方法，遍历一遍的过程中每次从窗口中再找到最大的数值，这样很明显是O(n × k)的算法。
有的同学可能会想用一个大顶堆（优先级队列）来存放这个窗口里的k个数字，这样就可以知道最大的最大值是多少了， 但是问题是这个窗口是移动的，而大顶堆每次只能弹出最大值，我们无法移除其他数值，这样就造成大顶堆维护的不是滑动窗口里面的数值了。所以不能用大顶堆。
此时我们需要一个队列，这个队列呢，放进去窗口里的元素，然后随着窗口的移动，队列也一进一出，每次移动之后，队列告诉我们里面的最大值是什么。
这个队列应该长这个样子：
class MyQueue {
public:
void pop(int value) {
}
void push(int value) {
}
int front() {
return que.front();
}
};
每次窗口移动的时候，调用que.pop(滑动窗口中移除元素的数值)，que.push(滑动窗口添加元素的数值)，然后que.front()就返回我们要的最大值。
这么个队列香不香，要是有现成的这种数据结构是不是更香了！
其实在C++中，可以使用 multiset 来模拟这个过程，文末提供这个解法仅针对C++，以下讲解我们还是靠自己来实现这个单调队列。
然后再分析一下，队列里的元素一定是要排序的，而且要最大值放在出队口，要不然怎么知道最大值呢。
但如果把窗口里的元素都放进队列里，窗口移动的时候，队列需要弹出元素。
那么问题来了，已经排序之后的队列 怎么能把窗口要移除的元素（这个元素可不一定是最大值）弹出呢。
大家此时应该陷入深思.....
其实队列没有必要维护窗口里的所有元素，只需要维护有可能成为窗口里最大值的元素就可以了，同时保证队列里的元素数值是由大到小的。
那么这个维护元素单调递减的队列就叫做单调队列，即单调递减或单调递增的队列。C++中没有直接支持单调队列，需要我们自己来实现一个单调队列
不要以为实现的单调队列就是 对窗口里面的数进行排序，如果排序的话，那和优先级队列又有什么区别了呢。
来看一下单调队列如何维护队列里的元素。
动画如下：
对于窗口里的元素{2, 3, 5, 1 ,4}，单调队列里只维护{5, 4} 就够了，保持单调队列里单调递减，此时队列出口元素就是窗口里最大元素。
此时大家应该怀疑单调队列里维护着{5, 4} 怎么配合窗口进行滑动呢？
设计单调队列的时候，pop，和push操作要保持如下规则：
- pop(value)：如果窗口移除的元素value等于单调队列的出口元素，那么队列弹出元素，否则不用任何操作
- push(value)：如果push的元素value大于入口元素的数值，那么就将队列入口的元素弹出，直到push元素的数值小于等于队列入口元素的数值为止
保持如上规则，每次窗口移动的时候，只要问que.front()就可以返回当前窗口的最大值。
为了更直观的感受到单调队列的工作过程，以题目示例为例，输入: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], 和 k = 3，动画如下：
那么我们用什么数据结构来实现这个单调队列呢？
使用deque最为合适，在文章栈与队列：来看看栈和队列不为人知的一面中，我们就提到了常用的queue在没有指定容器的情况下，deque就是默认底层容器。
基于刚刚说过的单调队列pop和push的规则，代码不难实现，如下：
class MyQueue { //单调队列（从大到小）
public:
deque<int> que; // 使用deque来实现单调队列
// 每次弹出的时候，比较当前要弹出的数值是否等于队列出口元素的数值，如果相等则弹出。
// 同时pop之前判断队列当前是否为空。
void pop(int value) {
if (!que.empty() && value == que.front()) {
que.pop_front();
}
}
// 如果push的数值大于入口元素的数值，那么就将队列后端的数值弹出，直到push的数值小于等于队列入口元素的数值为止。
// 这样就保持了队列里的数值是单调从大到小的了。
void push(int value) {
while (!que.empty() && value > que.back()) {
que.pop_back();
}
que.push_back(value);
}
// 查询当前队列里的最大值 直接返回队列前端也就是front就可以了。
int front() {
return que.front();
}
};
这样我们就用deque实现了一个单调队列，接下来解决滑动窗口最大值的问题就很简单了，直接看代码吧。
C++解法
class Solution {
private:
class MyQueue { //单调队列（从大到小）
public:
deque<int> que; // 使用deque来实现单调队列
// 每次弹出的时候，比较当前要弹出的数值是否等于队列出口元素的数值，如果相等则弹出。
// 同时pop之前判断队列当前是否为空。
void pop(int value) {
if (!que.empty() && value == que.front()) {
que.pop_front();
}
}
// 如果push的数值大于入口元素的数值，那么就将队列后端的数值弹出，直到push的数值小于等于队列入口元素的数值为止。
// 这样就保持了队列里的数值是单调从大到小的了。
void push(int value) {
while (!que.empty() && value > que.back()) {
que.pop_back();
}
que.push_back(value);
}
// 查询当前队列里的最大值 直接返回队列前端也就是front就可以了。
int front() {
return que.front();
}
};
public:
vector<int> maxSlidingWindow(vector<int>& nums, int k) {
MyQueue que;
vector<int> result;
for (int i = 0; i < k; i++) { // 先将前k的元素放进队列
que.push(nums[i]);
}
result.push_back(que.front()); // result 记录前k的元素的最大值
for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
que.pop(nums[i - k]); // 滑动窗口移除最前面元素
que.push(nums[i]); // 滑动窗口前加入最后面的元素
result.push_back(que.front()); // 记录对应的最大值
}
return result;
}
};
- 时间复杂度: O(n)
- 空间复杂度: O(k)
再来看一下时间复杂度，使用单调队列的时间复杂度是 O(n)。
有的同学可能想了，在队列中 push元素的过程中，还有pop操作呢，感觉不是纯粹的O(n)。
其实，大家可以自己观察一下单调队列的实现，nums 中的每个元素最多也就被 push_back 和 pop_back 各一次，没有任何多余操作，所以整体的复杂度还是 O(n)。
空间复杂度因为我们定义一个辅助队列，所以是O(k)。
大家貌似对单调队列 都有一些疑惑，首先要明确的是，题解中单调队列里的pop和push接口，仅适用于本题哈。单调队列不是一成不变的，而是不同场景不同写法，总之要保证队列里单调递减或递增的原则，所以叫做单调队列。 不要以为本题中的单调队列实现就是固定的写法哈。
大家貌似对deque也有一些疑惑，C++中deque是stack和queue默认的底层实现容器（这个我们之前已经讲过啦），deque是可以两边扩展的，而且deque里元素并不是严格的连续分布的。
Java解法
//解法一
//自定义数组
class MyQueue {
Deque<Integer> deque = new LinkedList<>();
//弹出元素时，比较当前要弹出的数值是否等于队列出口的数值，如果相等则弹出
//同时判断队列当前是否为空
void poll(int val) {
if (!deque.isEmpty() && val == deque.peek()) {
deque.poll();
}
}
//添加元素时，如果要添加的元素大于入口处的元素，就将入口元素弹出
//保证队列元素单调递减
//比如此时队列元素3,1，2将要入队，比1大，所以1弹出，此时队列：3,2
void add(int val) {
while (!deque.isEmpty() && val > deque.getLast()) {
deque.removeLast();
}
deque.add(val);
}
//队列队顶元素始终为最大值
int peek() {
return deque.peek();
}
}
class Solution {
public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
if (nums.length == 1) {
return nums;
}
int len = nums.length - k + 1;
//存放结果元素的数组
int[] res = new int[len];
int num = 0;
//自定义队列
MyQueue myQueue = new MyQueue();
//先将前k的元素放入队列
for (int i = 0; i < k; i++) {
myQueue.add(nums[i]);
}
res[num++] = myQueue.peek();
for (int i = k; i < nums.length; i++) {
//滑动窗口移除最前面的元素，移除是判断该元素是否放入队列
myQueue.poll(nums[i - k]);
//滑动窗口加入最后面的元素
myQueue.add(nums[i]);
//记录对应的最大值
res[num++] = myQueue.peek();
}
return res;
}
}
//解法二
//利用双端队列手动实现单调队列
/**
* 用一个单调队列来存储对应的下标，每当窗口滑动的时候，直接取队列的头部指针对应的值放入结果集即可
* 单调队列类似 （tail -->） 3 --> 2 --> 1 --> 0 (--> head) (右边为头结点，元素存的是下标)
*/
class Solution {
public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
ArrayDeque<Integer> deque = new ArrayDeque<>();
int n = nums.length;
int[] res = new int[n - k + 1];
int idx = 0;
for(int i = 0; i < n; i++) {
// 根据题意，i为nums下标，是要在[i - k + 1, i] 中选到最大值，只需要保证两点
// 1.队列头结点需要在[i - k + 1, i]范围内，不符合则要弹出
while(!deque.isEmpty() && deque.peek() < i - k + 1){
deque.poll();
}
// 2.既然是单调，就要保证每次放进去的数字要比末尾的都大，否则也弹出
while(!deque.isEmpty() && nums[deque.peekLast()] < nums[i]) {
deque.pollLast();
}
deque.offer(i);
// 因为单调，当i增长到符合第一个k范围的时候，每滑动一步都将队列头节点放入结果就行了
if(i >= k - 1){
res[idx++] = nums[deque.peek()];
}
}
return res;
}
}
Python解法
解法一：使用自定义的单调队列类
from collections import deque
class MyQueue: #单调队列（从大到小
def __init__(self):
self.queue = deque() #这里需要使用deque实现单调队列，直接使用list会超时
#每次弹出的时候，比较当前要弹出的数值是否等于队列出口元素的数值，如果相等则弹出。
#同时pop之前判断队列当前是否为空。
def pop(self, value):
if self.queue and value == self.queue[0]:
self.queue.popleft()#list.pop()时间复杂度为O(n),这里需要使用collections.deque()
#如果push的数值大于入口元素的数值，那么就将队列后端的数值弹出，直到push的数值小于等于队列入口元素的数值为止。
#这样就保持了队列里的数值是单调从大到小的了。
def push(self, value):
while self.queue and value > self.queue[-1]:
self.queue.pop()
self.queue.append(value)
#查询当前队列里的最大值 直接返回队列前端也就是front就可以了。
def front(self):
return self.queue[0]
class Solution:
def maxSlidingWindow(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:
que = MyQueue()
result = []
for i in range(k): #先将前k的元素放进队列
que.push(nums[i])
result.append(que.front()) #result 记录前k的元素的最大值
for i in range(k, len(nums)):
que.pop(nums[i - k]) #滑动窗口移除最前面元素
que.push(nums[i]) #滑动窗口前加入最后面的元素
result.append(que.front()) #记录对应的最大值
return result
解法二：直接用单调队列
from collections import deque
class Solution:
def maxSlidingWindow(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:
max_list = [] # 结果集合
kept_nums = deque() # 单调队列
for i in range(len(nums)):
update_kept_nums(kept_nums, nums[i]) # 右侧新元素加入
if i >= k and nums[i - k] == kept_nums[0]: # 左侧旧元素如果等于单调队列头元素，需要移除头元素
kept_nums.popleft()
if i >= k - 1:
max_list.append(kept_nums[0])
return max_list
def update_kept_nums(kept_nums, num): # num 是新加入的元素
# 所有小于新元素的队列尾部元素，在新元素出现后，都是没有价值的，都需要被移除
while kept_nums and num > kept_nums[-1]:
kept_nums.pop()
kept_nums.append(num)
Go解法
// 封装单调队列的方式解题
type MyQueue struct {
queue []int
}
func NewMyQueue() *MyQueue {
return &MyQueue{
queue: make([]int, 0),
}
}
func (m *MyQueue) Front() int {
return m.queue[0]
}
func (m *MyQueue) Back() int {
return m.queue[len(m.queue)-1]
}
func (m *MyQueue) Empty() bool {
return len(m.queue) == 0
}
func (m *MyQueue) Push(val int) {
for !m.Empty() && val > m.Back() {
m.queue = m.queue[:len(m.queue)-1]
}
m.queue = append(m.queue, val)
}
func (m *MyQueue) Pop(val int) {
if !m.Empty() && val == m.Front() {
m.queue = m.queue[1:]
}
}
func maxSlidingWindow(nums []int, k int) []int {
queue := NewMyQueue()
length := len(nums)
res := make([]int, 0)
// 先将前k个元素放入队列
for i := 0; i < k; i++ {
queue.Push(nums[i])
}
// 记录前k个元素的最大值
res = append(res, queue.Front())
for i := k; i < length; i++ {
// 滑动窗口移除最前面的元素
queue.Pop(nums[i-k])
// 滑动窗口添加最后面的元素
queue.Push(nums[i])
// 记录最大值
res = append(res, queue.Front())
}
return res
}