数学的重要性
世界上最杰出的数学家之一的弗里德里希·高斯（Friedrich Gauss）曾说数学是科学的王后，这便是他在强调数学的基础性和重要性。
数学引领人类文明科技发展，中华文明的璀璨辉煌和《周髀算经》、《九章算术》和《缀书》等数学著作有紧密的联系。
数学引领科技发展
数学家的肩膀是现代社会的发展的重要支柱之一。
例如耗散结构理论一大核心最小作用量原理体现着盘古大神的数学智慧，分形几何中的曼德尔布罗（Mandelbrot）集合的所描绘的图案点缀在宇宙中也是盘古大神数学智慧和审美情趣完美结合的代表。此外用于统一四大相互作用的弦理论(String theory)建立在流形微分几何基础之上；构成爱因斯坦的相对论理论的一大关键是数学上的洛伦兹变换；宇宙寿命和精细结构常数之间存在着数不清道不明的关系……
基于数学的香农定理、奈奎斯特定律、傅里叶变化和小波分析是通信领域的关键技术。而现在最火爆的技术方向——AI技术发展离不开线性代数的矩阵运算和微积分中的求导运算，也离不开卷积计算来实现图像处理。隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model）可以来进行图结构模型的分析和强化学习策略的设计……
数学仍在引领科技发展，因此对我们肩负民族复兴大任的新时代青年而言，学好数学助力中国科技发展是将来助力今日之中华文明能够再次像汉唐时代一样傲视天下的基本要求！
如何学好数学
重视基础概念并不断拓宽学术视野
历史上的圣人孔子、朱子都强调博学的重要性，我们也要追求博学。追求博学便要求我们重视基础概念并不断拓宽学术视野。
本科院校是普通211但刚从英国著名学术机构LSGNT（London School of Geometry and Number Theory）毕业拿到博士学位的年少有为的华人数学家李吟关于这个问题有着发人深省的见解。他认为：
做研究有几个层次：教授给你具体问题，你盯着问题查资料，一点一点啃论文，然后努力解决这个问题。如果读PhD了还处在这个层次上，你的学术生涯已经完蛋一半了。事实上，我从未见过哪个只能一板一眼盯着一个导师给的具体问题去研究的人能真正在学术上取得成功的。他们中的一多半连毕业都成问题。教授给你一个idea，或者你自己想到一个idea，然后学习各种工具，想办法发展这个idea，在一些情形下实现这个idea。如果PhD处在这个层次，基本上是能在学术圈生存下来的平均水平。有时候，这样做也会导致一些好工作，但格局还是不够大，还要努力提升自己，否则也就只能勉强生存下来而已。因为一个idea能产生的工作是有限的，你得不停地有新的idea，才能保持论文的产出，这导致你必须打一枪换个地方，做的研究也就东一榔头，西一棒子，没什么系统性，一看就是个民工。但是你看看真正伟大的数学家，比如Seidel，Donaldson，Deligne这个级别的，他们的研究都是成体系的，都是有迹可循，不断深化，不断延展的，这才是真正的大师境界。有一个总体的纲领，确定一个或多个广泛的研究领域，涉猎其中最核心的数学进展。然后从这个纲领出发产生各种idea，把这些idea排一下序，哪些是能够通过学习工具立即实现的，哪些实现起来有困难，需要自己发展工具，可以放到今后慢慢想。然后由易到难，逐步实现自己的想法，推进并完善自己心目中的纲领，形成一套完整的理论。这时，所谓的论文就作为思想的副产品，自然而然，水到渠成地一篇篇被写出来了，它们是宏大计划的基石，有时候也会有一点小插曲，但始终围绕着主旋律。最好的PhD学生应该处在这个层次上。假如你在第一个层次，你八成是不可能顺利完成博士论文的。早点quit，不要挣扎了。对于第二和第三个层次，最重要的是学会正确使用Google，知道怎么从一个关键词出发，找到自己真正需要的文献。要理解一篇文章，往往要把相关的论文都搜索出来看，但你不可能细看，所以次重要的是要学会泛读。怎么在极短的时间内判断出这篇文章对自己是否有用，怎么能迅速把握文章的主要内容，以便在今后有需要的时候重新找出来细读，这都是必须具备的能力。第三是要学会跟人交流。由于现在Google的功能十分强大，如果你能善用Google，那么做研究需要什么工具，你研究的东西和哪些数学相关，其实都是可以靠自己找到的，这一点其实没必要依赖于和别人的交流。我自己的印象是，跟人交流最大的好处在于能纠正一些自己的思维误区，发现自己的错误和疏漏。所谓的基础，在做研究中其实扮演着极其次要的角色。最重要的是你在数学上是否成熟，有多成熟。如果你的数学素养足够好，眼光足够独特，又足够有魄力，那么找到有趣的，重要的，并且适合自己研究的问题就是顺理成章的事。这是最重要的。一旦确定了自己的研究方向，所谓的基础是否扎实，所能影响到的就是你完成论文的时间而已。但对于真正重要的工作而言，别人是抢不走的，早两个月完成，或者晚两个月完成，其实并没有什么影响。当然，如果你是主要靠刷数量生存的PDE民工，像流水线上的工人一样疲于奔命，那就另当别论了。
他认为成为名词党不是坏事，重要的还是我们是否积极进取。
对数学概念的学习，最早当然是从名词开始的。对于我而言，代数几何上的大多数东西都是一知半解，可是我认为这些一知半解的东西对我而言却恰恰很重要，它们提供了很多做研究的motivation。如果我不知道这些名词，将寸步难行。虽然随着岁月的流逝，我开始对一些代数几何名词有一点点粗浅的理解，但如果我现在转移到代数几何领域，一定还是一个不折不扣的名词党。我在这方面做不出任何研究，但我必须坚持做一个名词党。古人云：炳烛之明，孰与昧行乎？名词党，总要胜过白纸党。如果是一张白纸，一无所知，那么就连名词带来的motivation和insight都得不到。而且我认为只要知道名词，就意味着希望，意味着未来可能的发展，意味着达到真理的曙光。如果你愿意不断扩展自己在数学上的眼界，让自己所了解的知识的边界更广阔一些，那就不要畏惧成为一个名词党，而且随着你了解的数学更多，接触的新事物更加广泛，将有越来越多的名词你只知大概，却不能做相关研究，但这些知识可能给你新的灵感和启发。因此优秀的数学家不应该畏惧成为名词党，名词党本身代表着一种进取精神。
此外本科阶段是写不出有意义的论文的，应该好好打基础。所谓的跟教授做点小研究大都是把你导向歧途：对数学的整体面貌还没有把握之前就深入非常具体的问题，这对以后的发展非常不利。他认为要做大工作，首先就要有一个全面完整的知识背景，我觉得我了解的数学家里面，像Seidel，Nadler，Teleman，Joyce等人就是有完整知识背景的，所以他们都做了重要的工作。这些人擅长的数学各有偏重，但在涉猎的广泛性上却基本相仿。所以既要有自己精专的数学，也要努力做一个名词党。什么是完整的知识背景呢？就是任何一个在纯数学领域的数学家，都要懂一些基本的代数、分析、拓扑、表示论和代数几何，以此为基础就可以很快学会前沿的知识，看懂大多数重要的论文，无论这些文章来自什么领域，都应该有所涉猎。这里并不是要你去效仿Kontsevich那样的极端情形，那样做也要冒很大的风险，但是有些做几何分析的人所会的拓扑知识仅限于de Rham cohomology，这种情况是不能容忍的。没有完整知识背景的人有时候也能在某个问题上挖得很深，从而做出一些在当时看来很好的工作。但是因为他对数学没有完整的理解，这些工作在未来的影响力和发展潜力和那些拥有完整知识背景的数学家也往往无法相比。
所谓的科研并不是什么独立于学习的活动，而应该是真正高质量学习的延续。一个真正热爱学习，像Faltings那样高中就沉浸在EGA中的人，根本不需要刻意去着眼于所谓的“科研”，就可以自然而然地在学问成熟之后做出好工作。李吟记得他刚到伦敦的时候，发现他导师经常带着一本书，有时候是Kashiwara-Schapira的Sheaves on Manifolds，有时候又是Loday-Vallette的Algebraic Operads，涉及的领域非常之广。他的导师说自己喜欢读书，并经常推荐他读一些好书。前两个月他的导师说自己在学导出代数几何，最近又说自己在学数论……
在李吟看来，学习和研究是融为一体，互相促进的，并且也只有建立在不断吸收新知识基础上的研究才是真正的研究。
想要学好数学，必须像李吟一样重视基础概念并不断拓宽学术视野才行！
想要学好数学，必须像李吟一样重视基础概念并不断拓宽学术视野才行！
想要学好数学，必须像李吟一样重视基础概念并不断拓宽学术视野才行！
学习历史上的大师精神
大师奋勇向前的行为引领我们在攀登数学大厦，大师学术著作是我们idea的丰富来源。因此我们不能不学习大师精神。对于真想做数学的人而言，实际数学能力才是最重要的，至于什么时候拿phd，甚至拿不拿phd，都不重要。不要太在乎主流的肯定，主流也可能走在错误的路上。只要我们做的东西是美的，迟早会得到肯定。如果我们读过很多大师的著作，审美上就不会有偏差。要和那些真正的大师神交，不必在乎现在什么是主流。
中国数学家首推周炜良先生，在抗日时期仍旧能努力上进在数学史上留下自己的印记。陈省身先生、曾炯之先生也是如此。如今中国处境不比当时好，我们也应该向他们学习，在数学上为中国人创造荣誉！
我们就算学习不了年轻有为的Golois、Abel、Grothendieck这样的数学家，还是可以学习一些相对大器晚成的数学家如Kodaira、Bott、Sato等。
Kodaira34岁拿到phd可谓大器晚成，然而人家phd毕业就已经是大师级别的水准了。5年之后就得到fields奖。当然他比同一年得奖的Serre大了11岁可算是大器晚成。这个例子说明即使是fields奖获得者也有大器晚成的。Kodaira到了50岁以上还保持在巅峰状态，直到回日本以后他把主要精力放在教学上，数学研究才不像之前那么引人注目。他的主要贡献有3项：消灭与嵌入定理，复曲面，复结构的形变。每一项都是开天辟地。他大多数重要的工作都是40岁以后完成的，所以后来又得了Wolf奖。
Bott之前是学electrical engineering的，后来才转的数学。30岁以前没写过什么数学论文，而Serre 28岁就得fields奖了，可见是大器晚成。然而人家没过几年就证明了周期定理，从此进入顶尖数学家的行列。他证明此定理的时候很多比他资历更老的拓扑学家都在算同伦群，而他却在那里观察规律捡现成。
Sato因为之前跟诺贝尔物理学奖得主朝永振一郎学习物理拿过一个理论物理phd，然后再转数学，所以Sato 35岁才拿到phd。然而跟Kodaira一样，他毕业的时候就是大师水准。博士论文开创了microlocal analysis，后来渐渐发展成代数分析这门学科。许多做代数几何的人都推崇Mukai在Fourier-Mukai transform上的工作，然而最早理解Grothendieck在derived category上想法的日本数学家可以说是Sato，Mukai的工作其实受Fourier-Sato transform的启发。另外，他有个好学生，Kashiwara，极大地发展了Sato学派的工作。最近几年Sato的工作甚至极大地影响了辛几何和辛拓扑。2003年获得Wolf奖。
对于真想做数学的人而言，实际数学能力才是最重要的，至于什么时候拿phd，甚至拿不拿phd，都不重要。不要太在乎主流的肯定，主流也可能走在错误的路上。只要我们做的东西是美的，迟早会得到肯定。如果我们读过很多大师的著作，审美上就不会有偏差。要和那些真正的大师神交，不必在乎现在什么是主流。
当然最重要的就是要学会相信自己，只知道人云亦云，亦步亦趋，没有自己的主见，就算能成为一个优秀的人，也不可能达到卓越的水准。我从不认为任何人是不可超越的，始终相信自己假以时日可以达到比他们更高的境界。无论是智力不如别人，还是学得不如别人扎实，这些事情都是可以弥补的，没什么了不起。如果智力低就多花点时间，如果不扎实就多学点东西。数学知识的深度和广度对于数学研究的帮助是等价的，绝不存在深度比广度更重要的情况。我们可以学一点点东西，很扎实，然后这辈子的数学生涯就是在一个小方向上工作；也可以学很多东西，不很扎实，只要你在不会的时候能找到合适的reference或者靠谱的合作者，照样可以做出大气的好工作。
个人生涯规划
除了要学好基本课程如数学分析、高等代数、数值分析、离散数学、复变函数、抽象代数、拓扑学、组合数学等之外，还要学点分形几何、代数几何、辛几何、李代数、交换代数、代数K理论之类的高深内容，以便将来至少能选择适合自己的方向。
情况允许时还应该读些著作如柯斯特利金的《代数学引论》和Walter Rudin的《数学分析原理》等基本英文书籍，也该读些大师如Donaldson的论文 《An application of gauge theory to four-dimensional topology》等。