北大丘维声教授清华高等代数课程1080P高清修复版(全151集)
参考教材：蓝以中《高等代数简明教程》、丘维声《高等代数》
文中代码主要是用包含线性代数的函数的numpy.linalg模块。使用这个模块，可以计算矩阵逆、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。
第一章 代数学的经典课题#
§1 若干准备知识#
1．复数的基本知识#
2．数域的概念#
3．集合论的若干概念#
4．求和号与乘积号#
5．充分必要条件#
§2 一元高次代数方程的基础知识#
1．高等代数的基本定理#
2．根的基本性质#
3．实数域上代数方程的根#
§3 线性方程组#
1．线性方程组概述#
2．线性方程组的解法#
numpy.linalg 中的 solve 函数可以求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 为矩阵，b 为一维或二维的数组，x 为未知变量。
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| import numpy as np
#创建矩阵和数组
A = np.mat('1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9')
b = np.array([0,8,-9])
#调用 solve 函数求解线性方程
x = np.linalg.solve(A,b)
print(x)
#out:[29. 16. 3]
#使用 dot 函数检查求得的解是否正确
print(np.dot(A,x))
#out:[[0. 8. -9.]]
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3．齐次线性方程组#
第二章 向量空间与矩阵#
§1 m维向量空间#
1．向量组的线性相关与线性无关#
2．向量组的秩#
3．集合内的等价关系#
§2 矩阵的秩#
§3 线性方程组的理论课题#
1．齐次线性方程组的基础解系#
2．基础解系的求法#
3．线性方程组的一般理论#
§4 矩阵的运算#
1．矩阵的加法和数乘#
2．矩阵的乘法运算#
np.dot()函数：对于秩为1的数组，执行对应位置相乘，然后再相加。对于秩不为1的二维数组，执行矩阵乘法运算。
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| import numpy as np
# 定义两个矩阵
a = np.array([[0,-3,0,3],[-2,-7,0,13],[0,-3,0,3], [-1,-4,0,7]])
print(a)
b = np.array([[0,-3,0,3],[-2,-7,0,13],[0,-3,0,3], [-1,-4,0,7]])
print(b)
# 计算矩阵乘积
c = np.dot(a, b)
# 打印结果
print(c)
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输出结果
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| [[ 0 -3 0 3]
[-2 -7 0 13]
[ 0 -3 0 3]
[-1 -4 0 7]]
[[ 0 -3 0 3]
[-2 -7 0 13]
[ 0 -3 0 3]
[-1 -4 0 7]]
[[ 3 9 0 -18]
[ 1 3 0 -6]
[ 3 9 0 -18]
[ 1 3 0 -6]]
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乘法符号运算：对数组执行对应位置相乘，对矩阵执行矩阵乘法运算
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| import numpy as np
a = np.array([[0,-3,0,3],[-2,-7,0,13],[0,-3,0,3],[-1,-4,0,7]])
a = np.mat(a)
print(a*a)
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输出结果
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| [[ 3 9 0 -18]
[ 1 3 0 -6]
[ 3 9 0 -18]
[ 1 3 0 -6]]
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np.multiply()函数：数组和矩阵对应位置相乘，输出与相乘数组/矩阵的大小一致
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| import numpy as np
a = np.array([[0,-3,0,3],[-2,-7,0,13],[0,-3,0,3],[-1,-4,0,7]])
a = np.mat(a)
print(a)
b = np.array([[0,-3,0,3],[-2,-7,0,13],[0,-3,0,3],[-1,-4,0,7]])
b = np.mat(b)
print(b)
c = np.multiply(a,b)
print(c)
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输出结果
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| [[ 0 -3 0 3]
[-2 -7 0 13]
[ 0 -3 0 3]
[-1 -4 0 7]]
[[ 0 -3 0 3]
[-2 -7 0 13]
[ 0 -3 0 3]
[-1 -4 0 7]]
[[ 0 9 0 9]
[ 4 49 0 169]
[ 0 9 0 9]
[ 1 16 0 49]]
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3．矩阵乘法的几何意义#
4．矩阵乘法的基本性质#
5．矩阵运算和秩的关系#
§5 n阶方阵#
1．数域上的n阶方阵#
2．n阶初等矩阵#
3．逆矩阵#
4．几类特殊的n阶方阵#
§6 分块矩阵#
1．准对角矩阵#
2．分块矩阵的秩#
3．矩阵的分块求逆#
第三章 行列式#
§1 平行六面体的有向体积#
§2 n阶方阵的行列式#
1．行列式的定义#
2．行列式的性质#
3．行列式对任意行(列)的展开公式#
4．行列式的其他重要性质#
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| import numpy as np
# 计算矩阵的行列式
F = np.mat("1 2;1 1")
# 使用det函数计算行列式
print(np.linalg.det(F))
# -1.0
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§3行列式的初步应用#
1．齐次线性方程组#
2．逆矩阵#
使用inv函数计算逆矩阵。
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| import numpy as np
A = np.mat('0 1 2;1 0 3;4 -3 8')
inv = np.linalg.inv(A)
print(inv)
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输出结果：
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| [[-4.5 7. -1.5]
[-2. 4. -1. ]
[ 1.5 -2. 0.5]]
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使用numpy.linalg模块中的pinv函数求解广义逆矩阵。inv函数只接受方阵作为输入矩阵，而pinv函数则没有这个限制。
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| import numpy as np
# 创建一个矩阵
Matrix = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函数计算广义逆矩阵
pseudoinv = np.linalg.pinv(E)
print(pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]
# 将原矩阵和得到的广义逆矩阵相乘
print(Matrix*pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]
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3．矩阵乘积的行列式#
4．矩阵的秩与行列式#
§4行列式的完全展开式#
§5 Laplace展开式与Binet—Cauchy公式#
第四章 线性空间与线性变换#
§1 线性空间的基本概念#
1．线性空间的定义和实例#
2．线性空间的基本属性#
3．线性空间的基本概念#
4．基和维数#
5．向量的坐标#
6．基变换与坐标变换#
7．Kn中的基变换#
§2 子空间与商空间#
1．子空间的基本概念#
2．子空间的交与和#
3．子空间的直和#
4．商空间#
§3 线性映射与线性变换#
1．线性映射#
2．线性空间的同构#
3．线性映射的核、像集和余核#
4．线性映射的运算#
5．线性映射的矩阵#
6．线性变换的基本概念#
7．线性变换在不同基下的矩阵#
§4 线性变换的特征值与特征向量#
1．特征值与特征向量的定义#
2．特征值与特征向量的计算法#
numpy.linalg模块中，eigvals函数可以计算矩阵的特征值，而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组。
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| import numpy as np
#创建一个矩阵
Matrix = np.mat('3 -2;1 0')
#调用eigvals函数求解特征值
eigenvalues = np.linalg.eigvals(Matrix)
print(eigenvalues)#out:[2. 1.]
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使用 eig 函数求解特征值和特征向量（该函数将返回一个元组，按列排放着特征值和对应的特征向量，其中第一列为特征值，第二列为特征向量）
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| import numpy as np
array = np.array([[1/2,1/2,1/2,1/2],[1/2,1/2,-1/2,-1/2],[-1/2,1/2,-1/2,1/2],[-1/2,1/2,1/2,-1/2]])
matrix = np.mat(array)
eigenvalues,eigenvectors=np.linalg.eig(matrix) #传入两个变量
print(eigenvalues)
print(eigenvectors)
#使用 dot 函数验证求得的解是否正确‘
for i in range(len(eigenvalues)):
print('left:',np.dot(matrix,eigenvectors[:,i]))
print('right:',eigenvalues[i] * eigenvectors[:i])
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输出结果：
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| [ 1.+0.j 0.+1.j 0.-1.j -1.+0.j] [[-7.07106781e-01+0.00000000e+00j 5.00000000e-01+3.72919427e-17j 5.00000000e-01-3.72919427e-17j -3.94864622e-17+0.00000000e+00j] [-7.07106781e-01+0.00000000e+00j -5.00000000e-01+0.00000000e+00j -5.00000000e-01-0.00000000e+00j 2.21595527e-16+0.00000000e+00j] [ 2.79683821e-16+0.00000000e+00j 1.91497458e-16+5.00000000e-01j 1.91497458e-16-5.00000000e-01j -7.07106781e-01+0.00000000e+00j] [ 1.69528880e-16+0.00000000e+00j 1.98242254e-16+5.00000000e-01j 1.98242254e-16-5.00000000e-01j 7.07106781e-01+0.00000000e+00j]]
left: [[-7.07106781e-01+0.j] [-7.07106781e-01+0.j] [ 5.55111512e-17+0.j] [ 1.66533454e-16+0.j]]
right: []
left: [[ 0.00000000e+00+5.00000000e-01j] [-3.88578059e-16-5.00000000e-01j] [-5.00000000e-01+1.11022302e-16j] [-5.00000000e-01-1.66533454e-16j]]
right: [[-0.00000000e+00-7.07106781e-01j -3.72919427e-17+5.00000000e-01j 3.72919427e-17+5.00000000e-01j -0.00000000e+00-3.94864622e-17j]]
left: [[ 0.00000000e+00-5.00000000e-01j] [-3.88578059e-16+5.00000000e-01j] [-5.00000000e-01-1.11022302e-16j] [-5.00000000e-01+1.66533454e-16j]]
right: [[ 0.00000000e+00+7.07106781e-01j 3.72919427e-17-5.00000000e-01j -3.72919427e-17-5.00000000e-01j 0.00000000e+00+3.94864622e-17j] [ 0.00000000e+00+7.07106781e-01j 0.00000000e+00+5.00000000e-01j -0.00000000e+00+5.00000000e-01j 0.00000000e+00-2.21595527e-16j]]
left: [[ 1.66533454e-16+0.j] [ 5.55111512e-17+0.j] [ 7.07106781e-01+0.j] [-7.07106781e-01+0.j]]
right: [[ 7.07106781e-01-0.00000000e+00j -5.00000000e-01-3.72919427e-17j -5.00000000e-01+3.72919427e-17j 3.94864622e-17-0.00000000e+00j] [ 7.07106781e-01-0.00000000e+00j 5.00000000e-01-0.00000000e+00j 5.00000000e-01+0.00000000e+00j -2.21595527e-16+0.00000000e+00j] [-2.79683821e-16+0.00000000e+00j -1.91497458e-16-5.00000000e-01j -1.91497458e-16+5.00000000e-01j 7.07106781e-01-0.00000000e+00j]]
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3．特征多项式的基本性质#
4．具有对角形矩阵的线性变换#
5．不变子空间#
6．商空间中的诱导变换#
第五章 双线性函数与二次型#
§1 双线性函数#
1．线性与双线性函数#
2．双线性函数在不同基下的矩阵#
3．对称双线性函数#
§2 二次型#
1．二次型的标准形#
2．二次型标准形的计算方法#
§3 实与复二次型的分类#
1．复二次型的分类#
2．实二次型的分类#
§4 正定二次型#
第六章 带度量的线性空间#
1 欧几里得空间的定义和基本性质#
SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是一种因子分解运算，将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积。
numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Singma和V，其中U和V是正交矩阵，Sigma包含输入矩阵的奇异值。
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| import numpy as np
#分解矩阵
Matrix = np.mat('4 11 14;8 7 -2')
#使用svd函数分解矩阵
U,Sigma,V = np.linalg.svd(Matrix, full_matrices=False)
print("U:",U)
#U:[[-0.9486833 -0.31622777]
#[-0.31622777 0.9486833 ]]
print("Sigma:",Sigma)
#Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("V",V)
#V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
#使用diag函数生成完整的奇异值矩阵。将分解出的3个矩阵相乘
print(U * np.diag(Sigma) * V)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]
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2 欧几里得空间中的特殊线性变换#
3 酉空间#
4 四维时空空间与辛空间#
第七章 线性变换的Jordan标准形#
1 幂零线性变换的Jordan标准形#
2 一般线性变换的Jordan标准形#
3 最小多项式#
4 矩阵函数#
第八章 有理整数环#
1 有理整数环的基本概念#
2 同余式#
3 模m的剩余类环#
第九章 一元多项式环#
1 一元多项式环的基本理论#
2 C，R，Q上多项式的因式分解#
3 实系数多项式根的分布#
4 单变早班有理函数域#
第十章 多元多项式环#
1 多元多项式环的基本概念#
2 对称多项式#
3 结式#
第十一章 n维仿射空间与n维射影空间#
1 n维仿射空间#
2 n维射影空间#
第十二章 张量积与外代数#
1 多重线性映射#
2 线性空间的张量积#
3 张量#
4 外代数#