# 数学漫步之旅/Short Trips In The Land of Math 在线观看

简介

我们将尝试解释数学，并非学校里教的那样，而是一种诗意的、神秘的思维结构。它强调逻辑，即数学让我们掌握的现实中的实际应用。这个系列旨在让好奇的观众发现数学新奇的一面，让他们觉得数学是思考的一部分，是文化的一部分。

英文名：Short Trips In The Land of Math

又名: Voyages au pays des maths / Journey into Maths Country

导演: Denis Van Waerebeke

类型: 动画 / 纪录片 / 短片

制片国家/地区: 法国

语言: 英语

首播: 2021-01-21(法国)

集数: 10

单集片长: 10分钟

分集内容

第一集反常数定律

先是通过超市中货品价格介绍数字1~9出现概率不一样，引入反常数定律（The Law of Anomalow Numbers），然后介绍加法尺度和乘法尺度的区别。

西元1614年，纳皮尔出版了《奇妙的对数表的描述》，他用对数建立了乘法世界和加法世界之间的对应关系。

通过将大数转换成加法，对数表对乘法进行简化。要将两个数相乘，只需将它们的对数相加即可。

西元1881年，西蒙·纽康（Simon Newcomb）注意到对数表前面的那些頁，那些包含以数字1开头的数字的頁，比其它頁磨损得更厉害。由此，他提出了一个公式，该公式给出了一个数字出现的概率N代表任何数字的第一个数字。

西元1938年，弗兰克·本福特（Frank Benford）再次发现了现在以他的名字命名的定律，并采用大量的数字样本进行了验证。

当数字刻度用乘法尺度而不是加法尺度时，数字1~9的分布是均匀的。

要应用本福特定律，数列需要跨越几个数量级。税务机关利用本福特定律来侦测税务欺诈。

第2集微分

首先介绍速度的概念引入无穷小微积分，然后通过芝诺（Zeno）悖论和牛顿发明导数来介绍微分思想。

运动的背后是不变的规律。

第3集庞加莱猜想

Topology拓扑学

The Poincare Conjecture庞加莱猜想：Every simply connected, compact without boundaries 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere.任一单连通的、紧致的无边界的三维流形都同胚于三维球面。

形状都被称为流形manifolds。

在拓扑学中，若一个物体可变形为另一个物体，且无需切割或粘合，则认为二者是等同的。

In topology, two objects are considered identical, if one can be deformed into the other, without cutting or gluing.

对拓扑学家来说，所有这些形状，抱歉，是这些流形，都可以通过变形互相创建出来，因此，它们是等同的，或者更确切说是”同胚的“，正如它们在这里的表述，所以，球体和立方体互为同胚流形，花瓶和盘子也是同胚流形，它们基本上只是变形的球体而已。这就是为什么有时拓扑学家会把花放在完全扁平的花瓶里，这对于不懂拓扑学的花来说并不容易。

For a topologist,all these shapes-sorry-these manifolds can be created from each other by deformation; therefore they are identical, or rather"homeomorphic", as they say in these parts. So a ball and a cube are homeomorphic manifolds, as are a vase and a plate, which are basically just balls which have been deformed! This is why topologists sometimes put flowers in completely flat vases, which is difficult for the flowers which know nothing about topology.

紧致：球面能被更大的球面包在里面。

torus环面和sphere球面区别：是否是单连通的

topological lasso拓扑套索

catch a sphere捕捉球面

不能捕捉球面的话说明是单连通的。

奇特的二维流形：

• 莫比乌斯带Mobius strip：没有上边也没有下边
• 克莱因瓶Klein bottle：没有里面也没有外面

引出问题：球面是唯一没有边界、紧致且单连通的二维流形吗？

克雷研究所七大数学难题：

• NP完全问题
• 霍奇猜想
• 庞加莱猜想
• 黎曼假设
• 杨·米尔斯理论
• 纳卫尔-斯托克斯方程
• BSD猜想

Perelman证明了庞加莱猜想。

第4集无穷

无穷有多种尺度。

自然数集包含无限数量的元素，集合中元素个数称为势cardinality

$|N|=\infty$读作N的势等于无穷大

康托尔Cantor提出：两个集合之间存在双射Bijection exists between two sets.

两个集合包含相同数量的元素时，才能形成双射。

自然数集和偶数集一一映射。

奇数集和偶数集一一映射。

David Hilbert设想出一个酒店，该酒店有无数个已编号的房间，来一个人的话酒店会让每层客人向上一层，但如果来无穷个客人，又该如何安排呢？

可以安排每位客户上楼到新的房间，房间编号是原来的二倍。

Cantor集：[0,1]中的实数排列成一个列表，分别取第n行的第n个数字组成一个新的数字，然后把这个新的数字加一，这样这个新的数字和任何一个原有数字都不相同。

无论列表是什么形式，总能找到它不包含的实数，因此两个集合之间不可能进行双射。

[0,1]中的实数多于自然数。因此实数集比自然数集大。

康托尔证明了存在无线数列的无限集，每个都大于前一个，它们各自的势表示为阿列夫0、阿列夫1、阿列夫2等，

第5集博弈论

The prisoner’s dilemma 囚徒困境问题

博弈论：研究策略问题的数学分支

西元1944年，冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦出版《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behavior》

Nash Equilibrium：在多个玩家互不协商并且需要作出选择时，单方面改变策略，对任何人而言都没有好处。

iterated prisioner’s dilemma重复囚徒困境：不再只是单一选择，而是一系列连续选择

tit-for-tat针锋相对策略：首先释放善意， 然后另一方上一轮怎么对我就怎么对他。

Robert Axelrod罗伯特·阿克塞尔罗德

tit-for-tat针锋相对策略最优

这也揭示了进化的奥秘之一——altrusim利他主义。

自然选择似乎更倾向于个人主义，利他行为又为何会在自然界出现？

人们发现合作策略通常会超越利己策略，而且针锋相对策略胜出次数最多。

罗伯特·阿克塞尔罗德指出最优策略结合了四个共同点：

• 不应该做第一个背叛的人
• 应对另外一个参与者的行为作出反应
• 不应一直试图击败他人
• 应避免采用过于复杂的策略

简而言之，要在生活中取得成功，人应有善心、不生嫉妒、积极回应、不要试图耍小聪明，这就是数学的力量。

第6集哥德尔不完备定理

真理和真理的证明是两回事。

为了解决set theory集合论带来的如“谎话悖论”相似的悖论，希尔伯特提出了数学的公理化理论(the axiomatization of mathematics)。

通过严格限定讨论的主题和使用的语言，一个数学论断要么真要么假，不可能既真又假。

希尔伯特认为科学领域不存在不可知的事物，我们的口号是必知且可知。

哥德尔推翻了这一论断。在谈到关于算术的问题时，哥德尔称可被证实的事物永远无法填满整个真理领域。

哥德尔第一定理：
任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题（即体系是不完备的）。

我们面临一个痛苦的选择， 大家要么相信算术系统可以论证假理论，但这样它就失去了协调性，所以没人会相信。要么就承认，世界上有些真理无法被论证，也就是说，系统是不完全的。可证命题将永远无法填满真命题的全部空间。

哥德尔第二定理：
任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。

哥德尔在不可证的数学论断中，发现了算数协调性。也就是说，他论证了希尔伯特研讨会的核心论点，那就是，算术系统具有协调性，但绝不能仅用算数方法论来论证它。

现代证据：集合论中多个不可判定命题的存在。

第7集生命游戏

John Conway发明了The game of life生命游戏，

生命游戏属于Cellular automata元胞自动机范畴，起源于cybernetics控制论。Stanislas Ulam斯塔尼斯拉夫·乌拉姆提出了元胞自动机。之后冯·诺伊曼写了本书——Theory of Self-Reproduction Automata《自复制自动机理论》。

Conway was a jack-of-all-trades.康威是个万事通。

他们证明了生命游戏就是所谓的通用图灵机，也就是说它能像计算机一样工作。

模拟生命的繁殖，简单的规则可以繁衍出复杂的形状。

对其他科学家来说，认为生命产生于一个这么简单的系统，这样的想法听起来天真可笑。他们不断强调，生命游戏的结果是绝对确定且完全可预料的。而且西元20世纪的科学理论早已驳斥了世界的运行有规律可循这一观点，这就给各种非确定性现象留下了巨大的讨论空间。因此，约翰·康威的发明才显得如此吸引人。它似乎横跨了这两个对立的世界，并精彩绝伦地展示了简单、确切的规则是如何产生复杂、不可预测的现象的。

第8集数字家族的扩张

自然数、整数、有理数、无理数、实数、代数数、超越数、宇宙数……数字家族的扩张。

非代数方程的解称为transcendental numbers超越数比如e、pi。

西元1933年，英国数学家David Champernowne大卫·钱波瑙恩创造了一个奇怪的数字——将无线连续的自然数一次相连就得得到这个数字。这个奇怪的数既是无理数也是超越数——但它也是数学家让·保罗·德拉哈耶所说的宇宙数——这个数包含所有可能的有限数字序列。

第9集复数

虚数、复数的出现，它们的几何意义是什么？实轴增加另一个维度，复数的乘法相当于在二维平面的拉伸和旋转。

Gerolamo Cardano吉罗拉莫·卡尔达诺发现三次方程求根公式。

Euler欧拉用$i=\sqrt{-1}$来表示虚数。

Caspar Wessel卡斯帕·韦塞尔发现了虚数的几何意义。

Gauss命名了复平面。

第10集黎曼猜想

The Riemann hypothesis黎曼猜想，研究素数的分布规律，能否用一个表述式精确给出素数数列的通项？

高斯发现素数定理：$x->\infty,\pi(x)~\frac{x}{ln(x)}$

Basel Problem巴塞尔问题

$\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi}^2}{6}$

Zeta函数在数学分析和数论之间搭建起桥梁。

$\zeta(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^x}$

Riemann根据zeta函数和复平面的关系发现Ri(x)，Ri(x)可以精确地表述质数的分布。但这其中需要一个特殊要素——zeta函数的零点。

黎曼猜想：The real part of every nontrivial zero of the Riemann zeta function is 1/2

黎曼$\zeta$函数每个非平凡零点的实部都是1/2。

黎曼假设是一个数学界一致认同其为真但无法证明的假设。