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本讲义是西元2018 年秋季学期起随课程编写的、丘成桐数学英才班试用的数学分析讲义. 上传后的讲义仍然有很多影响观感的排版疏漏或笔误, 甚至可能有一些数学错误, 具体请参见本页面的讨论.
参考教材：华东师范大学《数学分析》第五版
第一章 实数集与函数
1 实数
一、 实数及其性质
二、 绝对值与不等式
2 数集·确界原理
一、 区间与邻域
二、 有界集·确界原理
3 函数概念
一、 函数的定义
二、 函数的表示法
三、 函数的四则运算
四、 复合函数
五、 反函数
六、 初等函数
4 具有某些特性的函数
一、 有界函数
二、 单调函数
三、 奇函数和偶函数
四、 周期函数
第二章 数列极限
1 数列极限概念
2 收敛数列的性质
3 数列极限存在的条件
第三章 函数极限
1 函数极限概念
一､ x 趋于∞ 时函数的极限
二､ x 趋于 x0 时函数的极限
2 函数极限的性质
3 函数极限存在的条件
4 两个重要的极限
5 无穷小量与无穷大量
一､ 无穷小量
二､ 无穷小量阶的比较
三､ 无穷大量
四､ 曲线的渐近线
第四章 函数的连续性
1 连续性概念
一､ 函数在一点的连续性
二､ 间断点及其分类
三､ 区间上的连续函数
2 连续函数的性质
一､ 连续函数的局部性质
二､ 闭区间上连续函数的基本性质
三､ 反函数的连续性
四､ 一致连续性
3 初等函数的连续性
一､ 指数函数的连续性
二､ 初等函数的连续性
第五章 导数和微分
1 导数的概念
一､ 导数的定义
二､ 导函数
三､ 导数的几何意义
2 求导法则
一､ 导数的四则运算
二､ 反函数的导数
三､ 复合函数的导数
四､ 基本求导法则与公式
3 参变量函数的导数
4 高阶导数
5 微分
一､ 微分的概念
二､ 微分的运算法则
三､ 高阶微分
四､ 微分在近似计算中的应用
第六章 微分中值定理及其应用
1 拉格朗日定理和函数的单调性
一､ 罗尔定理与拉格朗日定理
二､ 单调函数
2 柯西中值定理和不定式极限
一､ 柯西中值定理
二､ 不定式极限
3 泰勒公式
一､ 带有佩亚诺型余项的泰勒公式
二､ 带有拉格朗日型余项的泰勒公式
三､ 在近似计算上的应用
4 函数的极值与最大（小）值
一､ 极值判别
二､ 最大值与最小值
5 函数的凸性与拐点
6 函数图像的讨论
7 方程的近似解
第七章 实数的完备性
1 关于实数集完备性的基本定理
一､ 区间套定理
二､ 聚点定理与有限覆盖定理
三､ 实数完备性基本定理之间的等价性
2 上极限和下极限
第八章 不定积分
1 不定积分概念与基本积分公式
一､ 原函数与不定积分
二､ 基本积分表
2 换元积分法与分部积分法
一､ 换元积分法
二､ 分部积分法
3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
一､ 有理函数的不定积分
二､ 三角函数有理式的不定积分
三､ 某些无理根式的不定积分
第九章 定积分
1 定积分概念
一､ 问题提出
二､ 定积分的定义
2 牛顿—莱布尼茨公式
3 可积条件
一､ 可积的必要条件
二､ 可积的充要条件
三､ 可积函数类
4 定积分的性质
一､ 定积分的基本性质
二､ 积分中值定理
5 微积分学基本定理·定积分计算(续)
一､ 变限积分与原函数的存在性
二､ 换元积分法与分部积分法
三､ 泰勒公式的积分型余项
6 可积性理论补叙
一､ 上和与下和的性质
二､ 可积的充要条件
第十章 定积分的应用
1 平面图形的面积
2 由平行截面面积求体积
3 平面曲线的弧长与曲率
一､ 平面曲线的弧长
二､ 曲率
4 旋转曲面的面积
一､ 微元法
二､ 旋转曲面的面积
5 定积分在物理中的某些应用
一､ 液体静压力
二､ 引力
三､ 功与平均功率
6 定积分的近似计算
一､ 梯形法
二､ 抛物线法
第十一章 反常积分
1 反常积分概念
一､ 问题提出
二､ 两类反常积分的定义
2 无穷积分的性质与敛散判别
一､ 无穷积分的性质
二､ 非负函数无穷积分的敛散判别法
三､ 一般无穷积分的敛散判别法
3 瑕积分的性质与敛散判别
第十二章 数项级数
1 级数的敛散性
2 正项级数
一､ 正项级数敛散性的一般判别原则
二､ 比式判别法和根式判别法
三､ 积分判别法
四､ 拉贝判别法
3 一般项级数
一､ 交错级数
二､ 绝对收敛级数及其性质
三､ 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
第十三章 函数列与函数项级数
1 一致收敛性
一､ 函数列及其一致收敛性
二､ 函数项级数及其一致收敛性
三､ 函数项级数的一致收敛性判别法
2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
第十四章 幂级数
1 幂级数
一､ 幂级数的收敛区间
二､ 幂级数的性质
三､ 幂级数的运算
2 函数的幂级数展开
一､ 泰勒级数
二､ 初等函数的幂级数展开式
3 复变量的指数函数·欧拉公式
第十五章 傅里叶级数
1 傅里叶级数
一､ 三角级数·正交函数系
二､ 以 2π 为周期的函数的傅里叶级数
三､ 收敛定理
2 以 2l 为周期的函数的展开式
一､ 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数
二､ 偶函数与奇函数的傅里叶级数
3 收敛定理的证明
第十六章 多元函数的极限与连续
1 平面点集与多元函数
一､ 平面点集
二､ R2 上的完备性定理
三､ 二元函数
四､ n 元函数
2 二元函数的极限
一､ 二元函数的极限
二､ 累次极限
3 二元函数的连续性
一､ 二元函数的连续性概念
二､ 有界闭域上连续函数的性质
第十七章 多元函数微分学
1 可微性
一､ 可微性与全微分
二､ 偏导数
三､ 可微性条件
四､ 可微性几何意义及应用
2 复合函数微分法
一､ 复合函数的求导法则
二､ 复合函数的全微分
3 方向导数与梯度
4 泰勒公式与极值问题
一､ 高阶偏导数
二､ 中值定理和泰勒公式
三､ 极值问题
第十八章 隐函数定理及其应用
1 隐函数
一､ 隐函数的概念
二､ 隐函数存在性条件的分析
三､ 隐函数定理
四､ 隐函数求导举例
2 隐函数组
一､ 隐函数组的概念
二､ 隐函数组定理
三､ 反函数组与坐标变换
3 几何应用
一､ 平面曲线的切线与法线
二､ 空间曲线的切线与法平面
三､ 曲面的切平面与法线
4 条件极值
第十九章 含参量积分
1 含参量正常积分
2 含参量反常积分
一､ 一致收敛性及其判别法
二､ 含参量反常积分的性质
3 欧拉积分
一､ Γ 函数
二､ Β 函数
三､ Γ 函数与 Β 函数之间的关系
第二十章 曲线积分
1 第一型曲线积分
一､ 第一型曲线积分的定义
二､ 第一型曲线积分的计算
2 第二型曲线积分
一､ 第二型曲线积分的定义
二､ 第二型曲线积分的计算
三､ 两类曲线积分的联系
第二十一章 重积分
1 二重积分的概念
一､ 平面图形的面积
二､ 二重积分的定义及其存在性
三､ 二重积分的性质
2 直角坐标系下二重积分的计算
3 格林公式·曲线积分与路线的无关性
一､ 格林公式
二､ 曲线积分与路线的无关性
4 二重积分的变量变换
一､ 二重积分的变量变换公式
二､ 用极坐标计算二重积分
5 三重积分
一､ 三重积分的概念
二､ 化三重积分为累次积分
三､ 三重积分换元法
6 重积分的应用
一､ 曲面的面积
二､ 质心
三､ 转动惯量
四､ 引力
7 n 重积分
8 反常二重积分
一､ 无界区域上的二重积分
二､ 无界函数的二重积分
9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第二十二章 曲面积分
1 第一型曲面积分
一､ 第一型曲面积分的概念
二､ 第一型曲面积分的计算
2 第二型曲面积分
一､ 曲面的侧
二､ 第二型曲面积分的概念
三､ 第二型曲面积分的计算
四､ 两类曲面积分的联系
3 高斯公式与斯托克斯公式
一､ 高斯公式
二､ 斯托克斯公式
4 场论初步
一､ 场的概念
二､ 梯度场
三､ 散度场
四､ 旋度场
五､ 管量场与有势场
第二十三章 向量函数微分学
1 n 维欧氏空间与向量函数
一､ n 维欧氏空间
二､ 向量函数
三､ 向量函数的极限与连续
2 向量函数的微分
一､ 可微性与可微条件
二､ 可微函数的性质
三､ 黑塞矩阵与极值
3 反函数定理和隐函数定理
一､ 反函数定理
二､ 隐函数定理
三､ 拉格朗日乘数法